高维有限元理论
前言
这里主要讨论边界条件对于我们要求解问题的影响。为方便起见，我们在这一节里都假设PDE问题有最简单的Poisson方程形式 \[ -\Delta u=f \] 边界条件主要有两种形式
- Dirichlet \[ u=0~on~\Gamma\subset\Omega \]
- Neumann \[ \frac{\partial u}{\partial \nu}=0~on~\partial\Omega-\Gamma \]
如果\(|\Gamma|\ne 0\)那么变分空间和之前类似需要有 \[ V=\{v\in H^1(\Omega),v|_{\Gamma}\equiv0\} \] 此时Neumann型的条件不需要在空间中明确给出（事实上\(H^1\)空间中也给不出导数逐点意义下的条件），但是如果变分形式满足，该边界条件会自动成立。这就被称为自然边界条件。
但是如果\(|\Gamma|=0\)，在这样的空间中解就不是唯一的了，容易发现解加上任意常数依然是方程满足边界条件的解，所以需要对空间有其他的限制。
非纯Neumann条件下问题等价性的验证
还是明确一下问题吧。首先是方程经典形式 \[ \begin{cases} -\Delta u=f\\ u=0~&on~\Gamma\subset\Omega\\ \frac{\partial u}{\partial \nu}=0~&on~\partial\Omega-\Gamma \end{cases} \]
在\(|\Gamma|\ne 0\)条件下取 \[ V=\{v\in H^1(\Omega),v|_{\Gamma}\equiv0\} \] 方程的变分形式为希望找\(u\in V\)使得 \[ a(u,v)=f(v),\forall v\in V \] 其中\(a(u,v)=(u',v'),f(v)=(f,v)\)
变分形式本就是由原方程加边界条件推出来的，这一个方向是无需说明的。我们想要验证对于\(f\in L^2,u\in H^2\)满足变分形式，那它一定满足原方程和边界条件。事实上
\[ \int(f+\Delta u)vdx=(f,v)-a(u,v)+\int_{\partial\Omega}v\frac{\partial u}{\partial \nu}dS=\int_{\partial\Omega}v\frac{\partial u}{\partial \nu}dS=\int_{\partial\Omega-\Gamma}v\frac{\partial u}{\partial \nu}dS,\forall v\in V \] 首先取\(v\in C_0^\infty (\Omega)\)在\(L^2(\Omega)\)中稠密可得\(f+\Delta u=0,in~L^2(\Omega)\)，再将此式代回即得 \[ \int_{\partial\Omega-\Gamma}v\frac{\partial u}{\partial \nu}dS=0,\forall v\in V\]
而\(V\)又在\(L^2(\partial\Omega-\Gamma)\)中稠密，故边界条件满足！
纯Neumann条件下问题等价性的验证
之前说了纯Neumann条件下空间就要改变了
这里我们取变分空间\(V=\{v\in H^1(\Omega), \int_\Omega v(x)dx=0\}\)，就可以避免任意添加常数的情况。此外注意到 \[ \int fdx=\int -\Delta udx=-\int \frac{\partial u}{\partial \nu}dS=0 \] 为常数，所以要使方程有解，这个条件也必须满足。
下面验证满足该条件和变分形式的\(f\in L^2\)与\(u\in H^2\)必然满足原方程和纯Neumann边界条件。
（下面记\(\tilde{D}=\{\phi\in D, \bar{\phi}:=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega\phi dx=0\}\)）
类似的思路 \[ \int_{\Omega}(-\Delta u-f)vdx=0,\forall v\in \tilde{C_0^\infty}(\Omega) \]
而\(\tilde{C_0^\infty}(\Omega)\)在\(\tilde{L^2}(\Omega)\)中稠密可得\(-\Delta u-f\)为常数。
由此进一步类似上面的有 \[ \int_{\partial\Omega}v\frac{\partial u}{\partial \nu}dS=0,\forall v\in V \] 取\(\phi\in C_0^\infty(\Omega),\bar\phi=1\)，考察\(v=w-\bar w\phi\)可发现\(v\)取遍\(V\)时，也可取遍\(L^2(\partial \Omega)\)，于是\(\frac{\partial u}{\partial \nu}=0\)
最后再回代一遍可得\(-\Delta u-f=0\)。
问题的适定性
实际上唯一有点困难的地方就是验证强制性 \(a(v,v)\ge \alpha \Vert v\Vert_{H^1}^2\)
这里有定理 \[ \Vert v\Vert_{L^2(\Omega)}\le C(|\int_\Gamma vdS|+|u|_{H^1(\Omega)}), \forall u\in V(Dirichlet),v\in H^1(\Omega) \]
验证是容易的，就不多加赘述了。
解的精度
误差分析那一套和之前是完全一致的，现在我们多了多项式插值逼近的精度估计这个工具，所以可以有 \[ \Vert u-u_h\Vert_{H^1(\Omega)}\le Ch^{m-1}|u|_{H^m(\Omega)} \]
在满足正则性 \(|u|_{H^2(\Omega)}\le C\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}\)时类似地使用对偶理论可以得到 \[ \Vert u-u_h\Vert_{L^2(\Omega)}\le Ch \Vert u-u_h\Vert_{H^1(\Omega)} \]
椭圆方程的正则性需要区域满足一定的光滑或凸类似的条件。