索伯列夫空间

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补一下Evans第五章的知识，强行修改日期在前面了。

前言

我们曾经研究的偏微分方程经典解，要求解和方程中出现的函数都是充分可导的函数，这对解的存在性与实用性都是不好的消息。我们希望找到一个新的函数空间足够大以恰好保证对比较一般的函数存在解。我们在实分析与泛函分析中有许多关于\(L^p\)空间的性质，这是一个更大的空间，但是\(L^p\)空间中不支持我们进行“求导”的操作，于是提出了Sobolev空间的概念。

定义

弱导数

首先对于一个函数\(u\in C^1(U)\)，则任意\(\phi\in C_0^\infty(U)\)由分部积分有 \[ \int_U u\phi_idx=-\int_Uu_i\phi dx \]

\[ \int_UuD^\alpha\phi dx=(-1)^{|\alpha|}\int_UD^\alpha u\phi dx \]

于是定义弱导数

\(u,v\in L^1_{loc}(U)\)，\(v\)为\(u\)的\(\alpha\)-弱导数，记\(v=D^\alpha u\)是指任意测试函数\(\phi\in C_0^\infty(U)\) 有 \[ \int_UuD^\alpha\phi dx=(-1)^{|\alpha|}\int_Uv\phi dx \] 后面弱解的定义大抵也是这种思路。

由\(\phi\)的任意性，弱导数的唯一性显见。

Sobolev空间

Sobolev空间\(W^{k,p}(U)\)由局部可积函数\(u\)组成，其中\(\forall |\alpha|\le k,D^\alpha u\)在弱导数意义下存在且属于\(L^p(U)\)中。 \[ \Vert u\Vert_{W^{k,p}(U)}= \begin{cases} (\sum_{|\alpha|\le k}\int_U |D^\alpha u|^p)^{1/p},&1\le p<\infty\\ \sum_{|\alpha|\le k}\text{ess sup}_U|D^\alpha u|,&p=\infty \end{cases} \] 一般记\(H^k(U)=W^{k,2}(U)\)，我们之后最常遇到的空间就是\(H^1(U)\)空间了（需要一次求导，而\(L^2(U)\)是一个Hilbert空间比较方便）。

定义\(W_0^{k,p}(U)\)为\(C_0^\infty(U)\)在\(W^{k,p}(U)\)中的闭包，一般就是满足\(D^\alpha u=0,on~\partial U,\forall |\alpha|\le k-1\)。

类似\(H_0^k(U)=W_0^{k,2}(U)\)

Sobolev空间的基本性质

弱导数基本性质

假设 \[ u,v\in W^{k,p}(U),|\alpha|\le k \] 则

  1. \[ D^\alpha u\in W^{k-|\alpha|,p}(U),D^\beta(D^\alpha u)=D^\alpha(D^\beta u)=D^{\alpha+\beta}u~~(|\alpha|+|\beta|\le k) \]

  2. \[ \forall \lambda,\mu\in \mathbb{R},\lambda u+\mu v\in W^{k,p}(U) \]

    且 \[ D^{\alpha}(\lambda u+\mu v)=\lambda D^{\alpha}u+\mu D^\alpha v,|\alpha|\le k \]

  3. \(U\subset V\)开集则 \[ u\in W^{k,p}(V) \]

  4. \(\zeta \in C_0^{\infty}(U)\)则\(\zeta u\in W^{k,p}(U)\)且 \[ D^{\alpha}(\zeta u)=\sum_{\beta\le \alpha} \left( \begin{matrix} \alpha\\ \beta \end{matrix} \right) D^\beta\zeta D^{\alpha-\beta}u \]

容易验证。

Sobolev空间性质

\(Thm\) \(W^{k,p}(U)\)为一个Banach空间。

只要验证完备性。由\(L^p(U)\)是Banach空间则\(D^\alpha u_m\to u_\alpha\)，继续验证\(D^\alpha u=u_\alpha\)即可。

常用的准备技巧

截断函数

对于区域\(\Omega'\subset\subset \Omega\)有界，存在函数\(\eta\in C_0^\infty(\Omega),0\le\eta\le 1,\eta\equiv 1~in~\Omega,\Vert D^\alpha\eta\Vert\le \frac{C_{n,|\alpha|}}{dist(\Omega',\partial \Omega)^{|\alpha|}}\)

\(Proof\)

令 \[ 3d=\text{dist}(\Omega',\partial\Omega) \]

\[ \Omega_1=\{x\in \Omega|\text{dist}(x,\partial \Omega)>d\} \]

\[ \Omega_2=\{x\in \Omega|\text{dist}(x,\partial \Omega)>2d\} \]

令 \[ f(x)= \begin{cases} c_ne^{\frac1{|x|^2-1}},&x\in B_1(0)\\ 0,&x\in B_1(0)^C \end{cases} \] Claim：\(\eta_{\epsilon}(x)=f_{\epsilon}(x)*\chi_{\Omega_2}(x)\)即为所求，其中\(\epsilon =d,f_\epsilon(x)=\epsilon^{-n}f(\frac{x}{\epsilon})\)。验证略。

紧集上的单位分解

\(K\subset \mathbb{R}^n\)紧集，\(\{\Omega_i\}_{i=1}^N\)为\(K\)的一个覆盖，则存在开集\(\Omega\supset K\)及函数簇\(\{a_i\}_{i=1}^N\)使得 \[ a_i\in C_0^\infty(\Omega_i),a_i\ge 0,\sum a_i=1,in~\Omega \] 由有限覆盖加截断函数易得。

Sobolev空间函数的逼近

直接研究Sobolev空间是一件比较困难的事情，我们希望用性质更好的\(C^\infty(U)\)函数来逼近，这也是我们在后面研究很多问题时的思路。

局部逼近

假设\(u\in W^{k,p}(U),u^\epsilon=\eta_\epsilon*u~in~U_\epsilon\)则

  1. \[ u^\epsilon\in C^\infty(U_\epsilon) \]

  2. \[ u^\epsilon\to u,in~W_{loc}^{k,p}(U),\epsilon\to 0 \]

整体逼近

\(U\)有界，\(u\in W^{k,p}(U)\)，则存在 \[ u_m\in C^\infty(U)\cap W^{k,p}(U) \] 使得\(u_m\to u,in~W^{k,p}(U)\)

进一步整体逼近

\(U\)有界，\(u\in W^{k,p}(U),\partial U\in C^1\)，则存在 \[ u_m\in C^\infty(\bar U)\cap W^{k,p}(U) \] 使得\(u_m\to u,in~W^{k,p}(U)\)

延拓限制

延拓

\(U\)有界且\(\partial U\in C^1\)，取\(U\subset\subset V\)，\(V\)有界开集，则存在有界线性算子 \[ E:W^{1,p}(U)\to W^{1,p}(\mathbb{R}^n) \] 使得任意\(u\in W^{1,p}(U)\)有：

  1. \[ Eu=u,a.e.in~U \]

  2. \[ \text{supp} \{Eu\}\subset V \]

  3. \[ \Vert Eu\Vert_{W^{1,p}(\mathbb{R}^n)}\le C\Vert u\Vert_{W^{1,p}(U)} \]

限制

\(U\)有界且\(\partial U\in C^1\)，则存在有界线性算子 \[ T:W^{1,p}(U)\to L^p(\partial U) \] 使得

  1. \[ Tu=u|_{\partial U},if~u\in W^{1,p}(U)\cap C(\bar U) \]

  2. \[ \Vert Tu\Vert_{L^p(\partial U)}\le C\Vert u\Vert_{W^{1,p}(U)} \]

上面内容虽然重要，但是证明过程比较繁琐，且思路相似、细节难以处理，就不加赘述了。

一些重要的不等式

Sobolev不等式

(Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality) 假设\(1\le p< n\)，则存在常数\(C\sim p,n\)使得 \[ \Vert u\Vert_{L^{p^*}(R^n)}\le C\Vert Du\Vert_{L^p(R^n)},\forall u\in C_0^\infty(R^n) \]

通过函数的伸缩变换可以确定出 \[ p^*=\frac{np}{n-p} \]

\(Proof\)

  1. 首先假设\(p=1\) \[ u(x)=\int_{-\infty}^{x_i}u_i(x_1,\cdots,y_i,\cdots,x_n)dy_i \] 则 \[ |u(x)|\le\int_{-\infty}^{\infty}|Du(x_1,\cdots,y_i,\cdots,x_n)|dy_i \]

    \[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}|u(x)|^{\frac{n}{n-1}}dx_1&\le \int_{-\infty}^{\infty}\prod_{i=1}^{n}\left(\int_{-\infty}^{\infty}|Du|dy_i\right)^{\frac{1}{n-1}}dx_1\\ &=\left(\int_{-\infty}^{\infty}|Du|dy_i\right)^{\frac{1}{n-1}} \int_{-\infty}^{\infty}\prod_{i=2}^{n}\left(\int_{-\infty}^{\infty}|Du|dy_i\right)^{\frac{1}{n-1}}dx_1\\ &\le \left(\int_{-\infty}^{\infty}|Du|dy_i\right)^{\frac{1}{n-1}} \prod_{i=2}^{n}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}|Du|dx_1dy_i\right)^{\frac{1}{n-1}}\\ &\le\cdots\\ &\le \left(\int_{R^n}|Du|dx\right)^{\frac{n}{n-1}} \end{aligned} \]

  2. \(1<p<n\)时 \[ \left(\int_{-\infty}^{\infty}|u(x)|^{\frac{\gamma n}{n-1}}dx\right)^{\frac{n-1}{n}}\le \gamma\int_R|u|^{\gamma-1}|Du|dx\le \gamma \left(\int_{-\infty}^{\infty}|u|^{\frac{(\gamma-1) p}{p-1}}dx\right)^{\frac{p-1}{p}}\left(\int_{-\infty}^{\infty}|Du|^{p}dx\right)^{\frac1p} \] 选取 \[ \frac{\gamma n}{n-1}=(\gamma-1)\frac{p}{p-1} \] 即 \[ \gamma=\frac{p(n-1)}{n-p}>1 \] 代入恰好得证。

\(p=n\)时，\(U=B^0(0,1),u=\log\log(1+\frac{1}{|x|})\)为反例。

由于\(C_0^\infty(U)\)在\(W^{1,p}(U)\)稠密（整体逼近），则有\(\partial U\in C^1,u\in W^{1,p}(U)\)时 \[ \Vert u\Vert_{L^{p^*}(U)}\le C\Vert u\Vert_{W^{1,p}(U)} \]

Poincare不等式

要用到下面的紧嵌入定理，待会再说。

紧嵌入定理

(Rellish-Kondrachov Compactness Theorem) 假设\(U\)是一个\(R^n\)有界开子集且\(\partial U\in C^1\)。则 \[ W^{1,p}(U)\subset\subset L^q(U),1\le q<p^*,p^*=\frac{np}{n-p} \] 特别地 \[ H^1(U)\subset\subset L^2(U) \]

（证明中用到Sobolev不等式，主要要证\(\{u_m\}\)在\(W^{1,p}(U)\)有界时，其有在\(L^q(U)\)中收敛的子列）

Poincare不等式

(Poincare inequality) \(U\)有界连通开集，\(\partial U\in C^1,1\le p\le\infty\)，则存在常数\(C\sim n,p,U\)使得 \[ \Vert u-(u)_U\Vert_{L^p(U)}\le C\Vert Du\Vert_{L^p(U)},\forall u\in W^{1,p}(U) \]

记号： \[ (u)_U=\frac1{|U|}\int_U udx \]

\(Proof\)

反证法。若不存在这样的常数，则存在\(u_k\in W^{1,p}(U)\) \[ \Vert u_k-(u_k)_U\Vert_{L^p(U)}> k\Vert Du_k\Vert_{L^p(U)} \] 将其标准化得 \[ v_k=\frac{u_k-(u_k)_U}{\Vert u_k-(u_k)_U\Vert_{L^p(U)}} \] 于是 \[ (v_k)_U=0,\Vert v_k\Vert_{L^p(U)}=1,\Vert Dv_k\Vert_{L^p(U)}<\frac1k \] 利用紧嵌入定理有子列 \[ v_{k_j}\to v,in~L^p(U) \] 则有 \[ (v)_U=0,\Vert v\Vert_{L^p(U)}=1 \] 且 \[ \int_Uv\phi_idx=\lim\int_Uv_{k_j}\phi_idx=-\lim\int_Uv_{k_j,i}\phi dx=0,\forall \phi\in C_0^\infty(U) \] 于是由弱导数定义有\(Dv=0,a.e.\)进而\(v\equiv 0\)矛盾！

\(H^{-1}\)空间

实际上在后面的探索中发现\(H^{-1}\)为\(H_0^1\)的对偶空间也是具有重要地位的（它可以直观理解成一些\(L^2\)函数求导后所在的空间）。易知 \[ H_0^1(u)\subset L^2(U)\subset H^{-1}(U) \] 此空间范数定义为 \[ \Vert f\Vert_{H^{-1}(U)}=\sup\{\langle f,v\rangle|u\in H_0^1(U),\Vert u\Vert_{H_0^1(U)}\le 1\} \]

性质

  1. \(f\in H^{-1}(U)\)，则存在\(f^0,f^1,\cdots,f^n\in L^2(U)\)使得 \[ \langle f,v\rangle=\int_Uf^0v+\sum_{i=0}^nf^iv_idx,\forall v\in H_0^1(U) \]

    此时可记 \[ f=f^0-\sum_{i=0}^nf^i_{x_i} \]

  2. \[ \Vert f\Vert_{H^{-1}(U)}=\inf\{(\int_U\sum_{i=0}^n|f^i|^2dx)^{1/2},f^i~ satisfies~(1)\} \]

  3. \[ (v,u)_{L^2(U)}=\langle v,u\rangle,\forall v\in L^2(U),u\in H_0^1(U) \]

由Riesz表示定理比较容易证明。