二阶椭圆方程

内容主要来自于Evans PDE书上第六章

由于马上要考试，所以就先整理这一章内容，不可避免地可能用到之前的知识，以后再说

前言

之前我们定义了Sobelev空间，首先将会用Max-Milgram定理以及紧算子的谱理论在该空间上探究弱解的存在性，然后通过计算证明提高解的正则性，最后给出二阶椭圆方程的最大值原理。

定义

二阶椭圆方程

在这一章中大都在探究一个方程 \[ \begin{cases} Lu=f,&in~U\\ u=0,&on~\partial U \end{cases} \tag{1} \] 解的性质。这里\(U\)是一个\(\mathbb{R}^n\)的有界开子集，\(u:\bar{U}\rightarrow\mathbb{R}\)是要求解的函数\(u=u(x)\)，\(f:U\rightarrow\mathbb{R}\)给定。\(L\)是一个二阶偏微分算子，通常具有形式： \[ Lu=-\sum_{i,j=1}^{n}(a^{ij}(x)u_i)_j+\sum_{i=1}^nb^i(x)u_i+c(x)u \tag{2} \] 或 \[ Lu=-\sum_{i,j=1}^{n}a^{ij}(x)u_{ij}+\sum_{i=1}^nb^i(x)u_i+c(x)u \tag{3} \]

注：之后的叙述为方便常常会使用Einstein求和约定来忽略求和号。

主要看运用中使用方便而运用某一种形式。在弱解存在性与性质证明上主要运用\((2)\)而在后续证明最大值原理时主要运用\((3)\)。在\(a^{ij}\)是\(C^1\)的时，两者显然可以相互转换。由方程形式不妨可以假设\((a^{ij})\)是对称阵。

称偏微分算子\(L\)是（一致）椭圆的是指存在一个常数\(\theta>0\)使得 \[ a^{ij}(x)\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2 \] 对\(a.e. x\in U, \forall\xi\in\mathbb{R}^n\)成立。即\(A=(a^{ij}(x))\)正定且最小特征值大于等于\(\theta\)。

弱解

首先看\(a^{ij},b^i,c\in L^{\infty}(U),~f\in L^2(U)\)的情形。

对任意的一个测试函数\(v\in C_0^{\infty}(U)\)，将其乘到方程\((2)\)两边分部积分可以得到 \[ \int_U (a^{ij}u_iv_j+b^iu_iv+cuv)dx=\int_Ufvdx \] 所以这样的形式在一定程度上刻画了解的性质，由此引出弱解的定义。

定义与\((2)\)相关联的双线性函数\(B[\cdot,\cdot]\)为 \[ B[u,v]:=\int_U (a^{ij}u_iv_j+b^iu_iv+cuv)dx,\forall u,v\in H_0^1(U) \] > 这里就体现了采用形式\((2)\)的好处。

称\(u\in H_0^1(U)\)是方程弱解是指对任意\(v\in H_0^1(U)\)有 \[ B[u,v]=(f,v) \] 其中\((\cdot,\cdot)\)为\(L^2(U)\)空间中标准内积。

对于更一般的方程 \[ \begin{cases} Lu=f,&in~U\\ u=g,&on~\partial U \end{cases} \] \(g\)是一个\(H^1\)方程\(w\)在\(\partial U\)上的迹，则\(\tilde{u}:=u-w\in H_0^1(U)\)是方程 \[ \begin{cases} L\tilde{u}=\tilde{f},&in~U\\ \tilde{u}=0,&on~\partial U \end{cases} \] 的解。\(\tilde{f}:=f-Lw\in H^{-1}(U)\)，弱解定义中\(L^2\)标准内积换成\(\langle f,v\rangle\)为\(H^{-1}(U)\)与\(H^0_1(U)\)的配对（类似上面过程可以验证这样的弱解定义是合理的）。

弱解的存在性

Lax-Milgram定理

假设\(H\)是一个Hilbert空间 \[ B:H\times H\rightarrow\mathbb{R} \] 是一个双线性映射，存在\(\alpha,\beta>0\)使得 \[ |B[u,v]|\le\alpha\Vert u\Vert \Vert v\Vert~~(\forall u,v\in H) \]

\[ \beta \Vert u\Vert^2\le B[u,u]~~(\forall u\in H) \] 则任意\(f:H\rightarrow\mathbb{R}\)有界线性泛函，存在唯一\(u\in H\)使得 \[ B[u,v]=\langle f,v\rangle \] 对任意\(v\in H\)成立。

这个定理的证明在任意泛函分析课本中都能找到，就不加赘述了。

可以看到这个定理与我们需要的结论已经非常接近，只要验证两个定理条件即可。

能量估计

\(Thm\) 存在\(\alpha,\beta>0,\gamma\ge0\)使得 \[ |B[u,v]|\le\alpha\Vert u\Vert_{H_0^1(U)} \Vert v\Vert_{H_0^1(U)} \]

\[ \beta \Vert u\Vert^2_{H_0^1(U)}\le B[u,u]+\gamma\Vert u\Vert^2_{L^2(U)} \]

由定义容易证明，过程中用到Poincare不等式 \[ \Vert u\Vert_{L^2(U)}\le C\Vert Du\Vert_{L^2(U)} \] 由此即有弱解第一存在性定理。

弱解第一存在性定理

\(Thm\) 存在\(\gamma>0\)使得对任意\(\mu\ge\gamma\)和任意方程\(f\in L^2(U)\)下列方程都存在唯一解\(u\in H_0^1(U)\) \[ \begin{cases} Lu+\mu u=f,&in~U\\ u=0,&on~\partial U \end{cases} \] \(proof\) 令 \[ B_{\mu}[u,v]:=B[u,v]+\mu (u,v) \] 则由能量估计其满足Lax-Milgram定理的条件，自然得证。

下面用记号 \[ L_\mu:=L+\mu I \] 上面的定理告诉我们对于充分大的\(\mu\)，\(L_\mu^{-1}\)是有定义的 \[ \begin{aligned} &Lu=f\\ \iff & L_\mu u=f+\mu u\\ \iff & u=L_\mu^{-1}(f+\mu u)\\ \iff & u-Ku=h \end{aligned} \] 其中\(K=\mu L_\mu^{-1},h=L_\mu^{-1}f\)

这个形式自然就让我们想到了泛函分析中的紧算子的一系列理论。

Fredholm理论

\(Thm~(Fredholm~alternative)\) 若\(K:H\rightarrow H\)是紧线性算子，则有结论

\((1)~N(I-K)\)是有限维的

\((2)~R(I-K)\)是闭的

\((3)~R(I-K)=N(I-K^*)^\perp\)

\((4)~N(I-K)={0}\iff R(I-K)=H\)

\((5)~\dim N(I-K)=\dim N(I-K^*)\)

这里我们只需要用在Hilbert空间中的结论，故证明也相对简单。

弱解第二存在性定理

伴随算子 \[ L^*v:=-(a^{ij}v_j)_i-b^iv_i+(c-b^i_i)v \] 伴随双线性函数 \[ B^*:H_0^1(U)\times H_0^1(U)\rightarrow\mathbb{R}\\ \]

\[ B^*[v,u]:=B[u,v] \]

伴随方程 \[ \begin{cases} L^*v=f,&in~U\\ v=0,&on~\partial U \end{cases} \tag{4} \] \(Thm\)

1. 下面情况有且仅有一种成立

\((a)\) 对于\(\forall f\in L^2(U)\)，方程\((1)\)有且仅有一解

\((b)\) 方程 \[ \begin{cases} Lu=0,&in~U\\ u=0,&on~\partial U \end{cases} \tag{5} \] 存在非零弱解。

2. 若情况\((b)\)成立则方程\((5)\)的解空间\(N\)维数有限且与方程\((6)\)解空间\(N^*\)维数相同。

\[ \begin{cases} L^*v=0,&in~U\\ v=0,&on~\partial U \end{cases} \tag{6} \]

3. 方程\((1)\)存在弱解当且仅当\(\forall v\in N^*\)有\((f,v)=0\)。

\(proof\) 首先证之前所说的\(K\)是紧算子

事实上，由能量估计有 \[ \beta\Vert Kg\Vert^2_{H_0^1(U)}=\beta\Vert u\Vert^2_{H_0^1(U)}\le B_\mu[u,u]=(g,u)\le\Vert g\Vert_{L^2(U)}\Vert u\Vert_{H_0^1(U)} \] 又 \[ H_0^1(U)\subset\subset L^2(U) \] 紧嵌入，则\(K\)是紧算子得证。此后就是运用Fredholm二择一理论，定理之间有比较明显的对应关系。

考试tip：一种常见的问题是判断\(f\)在什么情况下解存在，只要先找到伴随算子，进而运用分离变量等方法解方程\((6)\)得到\(N^*\)，再运用定理中3即可得到使解存在的\(f\)空间。

弱解第三存在性定理

\(Thm\)

至多存在可数集\(\Sigma\subset\mathbb{R}\)使得\(\forall f\in L^2(U)\)，方程 \[ \begin{cases} Lu=\lambda u+f,&in~U\\ u=0,&on~\partial U \end{cases} \] 存在唯一弱解。且若\(\Sigma\)为无限集，则\(\Sigma=\{\lambda_i\},\lambda\rightarrow\infty\)。

这与第二存在定理类似是泛函分析中紧算子谱理论的直接推论，用到不是很多，不加赘述。

弱解的正则性估计

考察方程 \[ -\Delta u =f \] 在\(u\)充分光滑且在边界为零时有 \[ \int f^2dx=\int(\Delta u)^2dx=\int u_{ii}u_{jj}dx=\int u_{ij}^2dx=\int|D^2u|^2dx \] 即\(u\)二阶导的\(L^2\)范数可以被\(f\)的\(L^2\)范数控制。类似地，我们似乎希望有\(f\in H^m\)时\(u\in H^{m+2}\)，现在已有的\(u\in H_0^1\)不能令我们满足，于是有了进一步的正则性估计。

内估计

\(Thm\) （\(u\)在区域内部有\(H^2\)正则性）

设\(a^{ij}\in C^1(U),b^i,c\in L^\infty(U),f\in L^2(U)\)，若\(u\in H^1(U)\)是弱解，则\(u\in H_{loc}^2(U)\)，具体地\(\forall V\subset\subset U\)有估计 \[ \Vert u\Vert_{H^2(V)}\le C(\Vert f\Vert_{L^2(U)}+\Vert u\Vert_{L^2(U)}),~~C\sim V,U,a^{ij},b^{i},c \]

注：没有要求\(u=0,on~\partial U\)

\(proof\)

选开集\(V\subset\subset W\subset\subset U\)，截断函数\(\zeta\equiv0~on~\mathbb{R}^n-W\)，取测试函数\(v:=-D_k^{-h}(\zeta^2D_k^hu)\)一通爆算。过程略。

\(Thm\)

设\(a^{ij},b^i,c\in C^{m+1}(U),f\in H^m(U)\)，若\(u\in H^1(U)\)是弱解，则\(u\in H_{loc}^{m+2}(U)\)，具体地\(\forall V\subset\subset U\)有估计 \[ \Vert u\Vert_{H^{m+2}(V)}\le C(\Vert f\Vert_{H^m(U)}+\Vert u\Vert_{L^2(U)}),~~C\sim V,U,a^{ij},b^{i},c \] 设\(a^{ij},b^i,c\in C^{\infty}(U),f\in C^{\infty}(U)\)，若\(u\in H^1(U)\)是弱解，则\(u\in C^{\infty}(U)\)

近边估计

\(Thm\) （边界正则性）

设\(a^{ij}\in C^1(\bar{U}),b^i,c\in L^\infty(U),f\in L^2(U)\)，若\(u\in H_0^1(U)\)是弱解，\(\partial U\in C^2\)，则\(u\in H^2(U)\) \[ \Vert u\Vert_{H^2(U)}\le C(\Vert f\Vert_{L^2(U)}+\Vert u\Vert_{L^2(U)}),~~C\sim V,U,a^{ij},b^{i},c \]

注：此处\(u=0,on~\partial U\)是必须的

（证明好复杂，上课听不懂，现在也看不下去。。）

高阶的推广类似。

最大值原理

现在开始默认使用椭圆算子形式\((3)\)

弱最大值原理

\(Thm\) 假设\(u\in C^2(U)\bigcap C(\bar{U})\)，\(c\equiv0~in~U\)，则有

\((1)~Lu\le 0~in~U \Rightarrow \max_{\bar{U}}u=\max_{\partial U}u\)

\((2)~Lu\ge 0~in~U \Rightarrow \min_{\bar{U}}u=\min_{\partial U}u\)

\(proof\)

\((1)\)

先看\(Lu<0~in~U\)且若\(x_0\in U,u(x_0)=\max_{\bar{U}}u\)，则\(Du(x_0)=0,~D^2u(x_0)\le0\)

\(A\)对称正定则有正交阵\(O\)使得\(OAO^T=diag(d_1,\cdots,d_n),d_i>0\)，取\(y=x_0+O(x-x_0)\) \[ a^{ij}u_{ij}+b^iu_i=a^{ij}u_{y_ky_l}o_{ki}o_{lj}=d_ku_{y_ky_k}\le0 \] 矛盾！

一般地\(Lu\le0~in~U\)情况，考虑\(u^\epsilon(x):=u(x)+\epsilon L(e^{\lambda x_1})\)

取\(\lambda\)充分大使得\(Lu^\epsilon<0\)，再取\(\epsilon\rightarrow 0\)即得证。

\((2)\)只需取\(-u\)即可

\(c\ge0\)的弱最大值原理

\(Thm\) 假设\(u\in C^2(U)\bigcap C(\bar{U})\)，\(c\ge 0~in~U\)，则有

\((1)~Lu\le 0~in~U \Rightarrow \max_{\bar{U}}u\le\max_{\partial U}u^+\)

\((2)~Lu\ge 0~in~U \Rightarrow \min_{\bar{U}}u\ge-\max_{\partial U}u^-\)

\(proof\)

同上只证\((1)\)

\(V:=\{x\in U~|~u(x)>0\}\)，\(Ku:=Lu-cu\le-cu\le0~in~V\)

则\(\max_{\bar{V}}u=\max_{\partial V}u=\max_{\partial V}u^+\)

分\(V=\varnothing\)与\(V\ne\varnothing\)都有定理成立。

强最大值原理

\(Thm\) 假设\(u\in C^2(U)\bigcap C(\bar{U})\)，\(c\equiv0~in~U\)，\(U\)连通有界开集，则有

\((1)~Lu\le 0~in~U \Rightarrow\) 若\(u\)在\(\bar{U}\)中内点取最大值，则\(u\)在\(U\)中为常函数

\((2)~Lu\ge 0~in~U \Rightarrow\) 若\(u\)在\(\bar{U}\)中内点取最小值，则\(u\)在\(U\)中为常函数

Hopf引理

假设\(u\in C^2(U)\bigcap C(\bar{U})\)，\(c\equiv0~in~U\)，\(Lu\le0~in~U\)，存在一点\(x^0\in\partial U\)使得\(u(x^0)>u(x)~~\forall x\in U\)，存在一个开球\(B\subset U\)使得\(x^0\in \partial B\)。则：

\((1)~\frac{\partial u}{\partial \nu}(x^0)>0\)

\((2)\) 若\(c\ge 0~in~U,u(x^0)\ge 0\)，则仍有\((1)\)成立。

证明略

一些估计

梯度内估计

记号同上，\(\forall V\subset\subset U,\sup_V|\nabla u|\le C\)

思路：取测试函数\(\varphi=\xi^2|\nabla u|^2+c_0u^2+e^{\beta x_1}\)

Harnack不等式（对数梯度估计）

\(Thm\) 假设\(u\ge0\)是方程\(Lu=0\)的一个\(C^2\)解，\(V\subset\subset U\)连通，则存在\(C\)使得 \[ \sup_V u\le C\inf_V u \] 其中，\(C\sim V,L\)

书中只证了\(b^i\equiv c\equiv 0\)且\(a^{ij}\)光滑的情况（就已经好复杂了）。

思路：令\(v=\log u\)，测试函数\(\varphi=\xi^2w,w=a^{ij}v_iv_j\ge\lambda|\nabla v|^2\)，利用\(u\)的方程以及Cauchy不等式得到\(|\nabla v|\)的估计。

上下解方法

这是来自Evans 9.3

考察方程 \[ \begin{cases} -\Delta u=f(u),&in~U\\ u=0,&on~\partial U \end{cases} \tag{7} \] 其中\(f\)光滑且Lipschitz连续

\(u=\overline{u}(\underline{u})\in H^1(U)\)为弱上（下）解的定义为 \[ \int_U Du\cdot Dvdx\ge(\le)\int_U f(u)vdx \] 对任意\(v\in H_0^1(U),v\ge0\)成立。

\(Thm\) 若该问题上下解存在且满足 \[ \underline{u}\le0,\overline{u}\ge0~on~\partial U\text{ in the trace sense, }\underline{u}\le\overline{u} ~~a.e.~in ~U \] 则问题存在弱解\(u\)使得\(\underline{u}\le u\le\overline{u}~a.e.~in~U\)。

思路：由Lipschitz连续性，取\(f(z)+\lambda z\)非降

构造 \[ \begin{cases} -\Delta u_{k+1}+\lambda u_{k+1}=f(u_k)+\lambda u_k,&in~U\\ u_{k+1}=0,&on~\partial U \end{cases} \] 则有最大值原理可以证明 \[ \underline{u}=u_0\le u_1\le\cdots\le u_k\le\cdots\le \overline{u} \] 进而可证\(u_k\rightarrow u\)即为所求。

一个巧妙的推论

\(Thm\) \(F\in L^2(U)\)Lipschitz连续且单调，\(F(0)=0\)，则存在唯一\(u\in H_0^1(U)\)， \[ \begin{cases} -\Delta u+F(u)=f,&in~U\\ u=0,&on~\partial U \end{cases} \] \(proof\)

找 \[ \begin{cases} -\Delta u=-f^-,&in~U\\ u=0,&on~\partial U \end{cases} \] 与 \[ \begin{cases} -\Delta u=f^+,&in~U\\ u=0,&on~\partial U \end{cases} \] 的解（存在性显然），容易验证它们分别是问题的下弱解与上弱解，故弱解存在性得证。

又 \[ -\Delta(u_1-u_2)=-(F(u_1)-F(u_2)) \] 有 \[ \int|\nabla(u_1-u_2)|^2dx=-\int(F(u_1)-F(u_2))(u_1-u_2)dx\le0 \] 即\(u_1=u_2\)

唯一性得证！