二阶抛物/双曲方程（一）

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主要内容来自于Evans PDE书Chapter5.9与Chapter7。

二阶抛物方程

本章中，我们主要研究的问题就是形如 \[ \begin{cases} u_t+Lu=f,&in~U_T\\ u=0,&on~\partial U\times[0,T]\\ u=g,&on~U\times\{t=0\} \end{cases} \] 的方程。其中\(U\)为\(R^n\)中有界开集，\(U_T=U\times(0,T]\)，\(L\)同之前说的有两种形式，满足\(\sum a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta |\xi|^2\)。\(f,g\)给定，求解\(u\)。

与之前相同，我们也主要研究弱解的存在唯一性、正则性提高以及最大值原理。在此之前，首先要做一些准备工作。

关于二阶椭圆方程的进一步探讨

回忆一维情形下，解这种偏微分方程最常用的套路就是分离变量法，我们尝试把相同的思路用在高维情形下。

不妨先看简单情形 \[ \begin{cases} u_t=\Delta u,&in~U_T\\ u=0,&on~\partial U\times[0,T]\\ u=g,&on~U\times\{t=0\} \end{cases} \] 假设 \[ u(x,t)=v(x)w(t) \] 则满足 \[ \begin{cases} \frac{w'(t)}{w(t)}=\frac{\Delta v(x)}{v(x)}=-\lambda,&~in~U_T\\ v=0,&on~\partial U_T\\ \end{cases} \] 最终 \[ u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}c_ke^{-\lambda_kt}\omega_k(x) \] 其中\(\{\lambda_k,\omega_k\}\)就是\(-\Delta\)在\(H_0^1\)空间中的特征值和特征向量。为进一步用\(u|_{t=0}=g\)确定系数，希望对这些特征向量有正交性的要求，一般来说，就是对二阶椭圆算子的特征向量正交性要求。

根据对称算子的谱理论，容易知道二阶对称椭圆算子的特征值都是正实数且趋于无穷，记 \[ 0<\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots,\lambda_k\to\infty \] 其分别对应的特征向量\(\{\omega_k\}\)为\(L^2\)中的正交基。由此进一步有结论：

结论

\(Thm\)

  1. \(\lambda_1=\min\{B[u,u],u\in H_0^1(U),\Vert u\Vert_{L^2}=1\}\)
  2. 存在恒正的特征向量\(\omega_1\)
  3. 任意关于\(\lambda_1\)的特征向量都是\(\omega_1\)的倍数（故\(\lambda_1<\lambda_2\)）

\(Proof\)

  1. 取特征向量\(\{\omega_k\}\)为\(L^2\)中标准正交基，则同时有 \[ B[\omega_k,\omega_l]=\lambda_k(\omega_k,\omega_l)=\lambda_k \delta_{kl} \]

    于是\(\{\omega_k/\lambda_k^{1/2}\}\)在\(H_0^1(U)\)中关于内积\(B[\cdot,\cdot]\)构成标准正交基。

    任意\(u\in H_0^1(U),\Vert u\Vert_{L^2}=1\)则 \[ u=\sum_{k=1}^\infty d_k\omega_k=\sum_{k=1}^\infty (u,\omega_k)\omega_k,\sum_{k=1}^{\infty}d_k^2=1 \] 从而也是标准正交基。 \[ B[u,u]=\sum d_k^2\lambda_k\ge \lambda_1 \]

  2. 同时上述过程可以证明满足 \[ u\in H_0^1(U),\Vert u\Vert_{L^2}=1 \] 的u都是\(\lambda_1\)的特征向量。

    假设u满足上述条件，则令 \[ \alpha=\int_U(u^+)^2dx,\beta=\int_U(u^-)^2dx \] 则\(\alpha+\beta=1\) \[ \begin{aligned} \lambda_1&=B[u,u]=B[u^+,u^+]+B[u^-,u^-]\\ &\ge \lambda_1\Vert u^+\Vert_{L^2(U)}+\lambda_1\Vert u^-\Vert_{L^2(U)}\\ &=\lambda_1 \end{aligned} \] 要使不等式取等成立，则 \[ B[u^+,u^+]=\lambda_1\Vert u^+\Vert_{L^2(U)} \] 即为想要的结论。

    同时\(u^+>0\)或\(u\equiv 0\)，故\(u\)在\(U\)中不变号

  3. 对于两个特征向量解\(u,v\)有 \[ \int_U u\ne0,\int_U v\ne0 \] 令 \[ \int_Uu-cv=0 \] 则\(u-cv\)也为特征向量，由之前结论必恒为零，则命题得证。

一些定义

带时间函数的空间

为了描述函数\(u(x,t)\)，首先给出空间定义。

函数的范数分别定义为 \[ \Vert u\Vert_{L^p(0,T;X)}=(\int_0^T\Vert u(t)\Vert^pdt)^{1/p} \]

\[ \Vert u\Vert_{L^\infty(0,T;X)}=\text{ess sup}_{0\le t\le T}\Vert u(t)\Vert \]

\[ \Vert u\Vert_{C([0,T];X)}=\max_{0\le t\le T}\Vert u\Vert \]

空间即为范数有限的可测/连续函数全体。

Sobelev空间的定义类似。

可以证得Sobelev空间中函数关于时间几乎连续。

\(Thm\) \[ u\in W^{1,p}(0,T;X) \] 则

  1. \[ u\in C([0,T];X) \]

  2. \[ u(t)=u(s)+\int_s^t u'(\tau)d\tau \]

  3. \[ \max_{0\le t\le T}\Vert u(t)\Vert\le C\Vert u\Vert_{W^{1,p}(0,T;X)} \]

\(Thm\) \[ u\in L^2(0,T;H_0^1(U)),u'\in L^2(0,T;H^{-1}(U)) \] 则

  1. \[ u\in C([0,T];L^2(U)) \]

  2. 映射\(t\to \Vert u(t)\Vert_{L^2(U)}^2\)绝对连续，且 \[ \frac{d}{dt}\Vert u(t)\Vert_{L^2(U)}^2=2\langle u'(t),u(t)\rangle \]

  3. \[ \max_{0\le t\le T}\Vert u(t)\Vert_{L^2(U)}\le C(\Vert u\Vert_{L^2(0,T;H_0^1(U))}+\Vert u'\Vert_{L^2(0,T;H^{-1}(U))}) \]

证明思路都是先作延拓后与光滑核卷积，通过光滑函数的极限导出结论。

弱解

类似定义 \[ B[u,v;t]=\int_U a^{ij}(\cdot,t)u_iv_j+b^i(\cdot,t)u_i v+c(\cdot, t)uv dx \] 同样先用光滑函数尝试性质，再分部积分即得弱解定义。

称一个函数 \[ u\in L^2(0,T;H_0^1(U)),u'\in L^2(0,T;H^{-1}(U)) \] 是方程的弱解是指任意的 \[ v\in H_0^1(U),0\le t\le T~a.e. \] 都有 \[ \langle u',v\rangle+B[u,v;t]=(f,v),u(0)=g \]

弱解的构造——Galerkin逼近

由之前讨论，找一组\(\{\omega_k\}\)为\(H_0^1(U)\)与\(L^2(U)\)正交基，记 \[ u_m(t)=\sum_{k=1}^{m}d_m^k(t)\omega_k \] 取系数满足 \[ \begin{aligned} &d_m^k(0)=(g,\omega_k)\\ (u_m',\omega_k)&+B[u_m,\omega_k;t]=(f,\omega_k),k=1,\cdots,m \end{aligned} \] 则找到了一个子空间中满足条件的解。将其取极限即得想要的解。

序列存在性

这样序列的存在性，即系数函数的存在性

事实上 \[ (u_m',\omega_k)={d_m^k}'(t) \] 令 \[ e^{kl}(t)=B[\omega_k,\omega_l;t] \]

\[ f^k(t)=(f(t),\omega_k) \]

则 \[ B[u_m,\omega_k;t]=\sum_{l=1}^m e^{kl}(t)d_m^l(t) \] 代入所需满足条件得 \[ {d_m^k}'(t)+\sum_{l=1}^m e^{kl}(t)d_m^l(t)=f^k(t) \] 即一个常微分方程组，这样的解是存在的。

能量估计

\[ \max_{0\le t\le T}\Vert u_m(t)\Vert_{L^2(U)}+\Vert u_m\Vert_{L^2(0,T;H_0^1(U))}+\Vert u_m'\Vert_{L^2(0,T;H^{-1}(U))}\le C(\Vert f\Vert_{L^2(0,T;L^2(U))}+\Vert g\Vert_{L^2(U)}) \]

\(Proof\) \[ (u_m',\omega_k)+B[u_m,\omega_k;t]=(f,\omega_k),k=1,\cdots,m \] 乘\(d_m^k\)对k求和可得 \[ (u_m',u_m)+B[u_m,u_m;t]=(f,u_m),k=1,\cdots,m \] 椭圆中能量估计有 \[ \beta\Vert u_m\Vert^2_{H_0^1(U)}\le B[u_m,u_m;t]+\gamma\Vert u_m\Vert^2_{L^2(U)} \] 由于 \[ (f,u_m)\le \frac12\Vert f\Vert^2_{L^2(U)}+\frac12\Vert u_m\Vert^2_{L^2(U)} \]

\[ (u_m',u_m)=\frac12\frac{d}{dt}\Vert u_m\Vert^2_{L^2(U)} \]

则 \[ \frac{d}{dt}\Vert u_m\Vert^2_{L^2(U)}+2\beta\Vert u_m\Vert^2_{H_0^1(U)}\le C_1\Vert u_m\Vert^2_{L^2(U)}+C_2\Vert f\Vert^2_{L^2(U)} \] 运用Gronwell不等式

\[ \eta'(t)\le C_1\eta(t)+C_2\xi(t) \]

则 \[ \eta(t)\le e^{C_1 t}\left(\eta(0)+C_2\int_0^t\xi(s)ds\right) \]

再加上 \[ \Vert u_m(0)\Vert^2_{L^2(U)}\le \Vert g\Vert^2_{L^2(U)} \] 于是 \[ \max_{0\le t\le T}\Vert u_m(t)\Vert_{L^2(U)}\le C(\Vert f\Vert_{L^2(0,T;L^2(U))}+\Vert g\Vert_{L^2(U)}) \] 由定义 \[ \Vert u_m\Vert_{L^2(0,T;H_0^1(U))}\le C(\Vert f\Vert_{L^2(0,T;L^2(U))}+\Vert g\Vert_{L^2(U)}) \] 对前面估计式积分易得

只要证明 \[ \Vert u_m'\Vert_{L^2(0,T;H^{-1}(U))}\le C(\Vert f\Vert_{L^2(0,T;L^2(U))}+\Vert g\Vert_{L^2(U)}) \] 这里任取\(v\in H_0^1(U),\Vert v\Vert_{H_0^1(U)}\le 1\)，令\(v=v^1+v^2,v^1\in \text{span}\{w_k\}_{k=1}^m,(v^2,\omega_k)=0\)

则 \[ \Vert v^1\Vert_{H_0^1(U)}\le \Vert v\Vert_{H_0^1(U)}\le 1 \] 且 \[ (u_m',v^1)+B[u_m,v^1;t]=(f,v^1),k=1,\cdots,m \] 于是 \[ \langle u_m',v\rangle=(u_m',v)=(u_m',v^1)=(f,v^1)-B[u_m,v^1;t] \] 从而 \[ |\langle u_m',v\rangle|\le C(\Vert f\Vert_{L^2(U)}+\Vert u_m\Vert_{H_0^1(U)}) \] 由任意性有 \[ \Vert u_m'\Vert_{H^{-1}(U)}\le C(\Vert f\Vert_{L^2(U)}+\Vert u_m\Vert_{H_0^1(U)}) \] 于是积分得证！

弱解存在性

由以上的能量估计有 \[ \Vert u_m\Vert_{L^2(0,T;H_0^1(U))},\Vert u_m'\Vert_{L^2(0,T;H^{-1}(U))} \] 有界

于是存在其子列弱收敛，即 \[ \begin{cases} u_{ml}\rightharpoonup u,in~L^2(0,T;H_0^1(U))\\ u_{ml}'\rightharpoonup u',in~L^2(0,T;H^{-1}(U)) \end{cases} \] 则任选\(v\in C^1([0,T];H_0^1(U)),v=\sum_{k=1}^N d^k(t)\omega_k\)

则 \[ \int_0^T\langle u_m',v\rangle+B[u_m,v;t]dt=\int_0^T(f,v)dt \] 令\(m=m_l\)取极限有 \[ \int_0^T\langle u',v\rangle+B[u,v;t]dt=\int_0^T(f,v)dt \] 由稠密性则对\(v\in L^2(0,T;H_0^1(U))\)都成立

只需再验证\(u(0)=g\)

由于对\(v\in C^1([0,T];H_0^1(U)),v(T)=0\) \[ \int_0^T -\langle v',u\rangle+B[u,v;t]dt=\int_0^T(f,v)dt+(u(0),v(0)) \]

\[ \int_0^T -\langle v',u_m\rangle+B[u_m,v;t]dt=\int_0^T(f,v)dt+(u_m(0),v(0)) \]

于是 \[ \int_0^T -\langle v',u\rangle+B[u,v;t]dt=\int_0^T(f,v)dt+(g,v(0)) \] 再由任意性即可。

弱解唯一性

只需证\(f\equiv g\equiv 0\)时\(u\equiv 0\)

于是 \[ \frac{d}{dt}(\frac12 \Vert u\Vert^2_{L^2(U)})+B[u,u;t]=0 \] 又 \[ B[u,u;t]\ge \beta\Vert u\Vert^2_{H_0^1(U)}-\gamma\Vert u\Vert^2_{L^2(U)}\ge -\gamma\Vert u\Vert^2_{L^2(U)} \] 再结合Gronwell不等式即得。