二阶抛物/双曲方程（二）
主要内容来自于Evans PDE书Chapter5.9与Chapter7。
二阶抛物方程（续）
我们已经通过Galerkin逼近的方式给出了弱解的存在唯一性，接下来仿照二阶椭圆算子继续探讨能否提高解的正则性，以及类似讨论重要的最大值定理。
正则性
\(Thm\)
若 \[ g\in H_0^1(U),f\in L^2(0,T;L^2(U)) \] 对于弱解 \[ u\in L^2(0,T;H_0^1(U)),u'\in L^2(0,T;H^{-1}(U)) \] 则 \[ u\in L^2(0,T;H^2(U))\bigcap L^\infty(0,T;H_0^1(U)),u'\in L^2(0,T;L^2(U)) \] 且 \[ \begin{aligned} \text{ess sup}_{0\le t\le T}\Vert u(t)\Vert_{H_0^1(U)}&+\Vert u\Vert_{L^2(0,T;H^2(U))}+\Vert u'\Vert_{L^2(0,T;L^2(U))}\\ &\le C(\Vert f\Vert_{L^2(0,T;L^2(U))}+\Vert g\Vert_{H_0^1(U)}) \end{aligned} \]
若进一步 \[ g\in H^2(U),f'\in L^2(0,T;L^2(U)) \] 则 \[ u\in L^\infty(0,T;H^2(U)),u'\in L^\infty(0,T;L^2(U))\bigcap L^2(0,T;H_0^1(U)),u''\in L^2(0,T;H^{-1}(U)) \] 且 \[ \begin{aligned} \text{ess sup}_{0\le t\le T}&(\Vert u(t)\Vert_{H^2(U)}+\Vert u'(t)\Vert_{L^2(U)})+\Vert u'\Vert_{L^2(0,T;H_0^1(U))}+\Vert u''\Vert_{L^2(0,T;H^{-1}(U))}\\ &\le C(\Vert f\Vert_{H^1(0,T;L^2(U))}+\Vert g\Vert_{H^2(U)}) \end{aligned} \]
\(Proof\)
经典解可考虑两边乘u积分，两边乘utt积分，和求导后两边乘ut积分，更为简单，略。
对于弱解有 \[ (u_m',u_m')+B[u_m,u_m';t]=(f,u_m') \] 将第二项拆开 \[ \begin{aligned} B[u_m,u_m';t]&=\int_U a^{ij}u_{m,i}u_{m,j}'dx+\int_U b^iu_{m,i}u_m'+cu_mu_m'dx\\ &:= A+B \end{aligned} \] 于是 \[ A=\frac12\frac{d}{dt}(A[u_m,u_m]) \]
\[ B\le C_\epsilon\Vert u_m\Vert^2_{H_0^1(U)}+\epsilon\Vert u_m'\Vert_{L^2(U)}^2 \]
则 \[ \Vert u_m'\Vert_{L^2(U)}^2+\frac12\frac{d}{dt}(A[u_m,u_m])\le C(\Vert u_m\Vert^2_{H_0^1(U)}+\Vert f\Vert_{L^2(U)}^2)+\frac12\Vert u_m'\Vert_{L^2(U)}^2 \] 可推出 \[ \begin{aligned} &\int_0^T\Vert u_m'\Vert_{L^2(U)}^2dt+\sup_{0\le t\le T}A[u_m(t),u_m(t)]\\ \le&C(A[u_m(0),u_m(0)]+\int_0^T\Vert u_m\Vert_{H_0^1(U)}^2+\Vert f\Vert_{L^2(U)}^2dt)\\ \le& C(\Vert g\Vert_{H_0^1(U)}^2+\Vert f\Vert_{L^2(0,T;L^2(U))}^2) \end{aligned} \] 又 \[ A[u,u]\ge \theta\int_U|Du|^2dx \] 故有 \[ \sup_{0\le t\le T}\Vert u_m(t)\Vert_{H_0^1(U)}\le C(\Vert f\Vert_{L^2(0,T;L^2(U))}+\Vert g\Vert_{H_0^1(U)}) \] 令\(m=m_l\to\infty\)有 \[ u\in L^\infty(0,T;H_0^1(U)),u'\in L^2(0,T;L^2(U)) \]
另外，\(\forall v\in H_0^1(U),~a.e. t\)，有 \[ (u',v)+B[u,v]=(f,v) \] 成立
记为\(B[u,v]=(h,v),h=f-u'\)
由椭圆中的高阶正则性估计可以得到 \[ \begin{aligned} \Vert u\Vert^2_{H^2(U)}&\le C(\Vert h\Vert^2_{L^2(U)}+\Vert u\Vert^2_{L^2(U)})\\ &\le C(\Vert f\Vert^2_{L^2(U)}+\Vert u'\Vert^2_{L^2(U)}+\Vert u\Vert^2_{L^2(U)}) \end{aligned} \] 于是1得证。
对 \[ (u_m',\omega_k)+B[u_m,\omega_k]=(f,\omega_k) \] 关于t求偏导得 \[ (\tilde{u}_m',\omega_k)+B[\tilde{u}_m,\omega_k]=(f',\omega_k),\tilde{u}_m=u_m' \] 于是 \[ (\tilde{u}_m',\tilde{u}_m)+B[\tilde{u}_m,\tilde{u}_m]=(f',\tilde{u}_m) \] 类似地运用Gronwall不等式即有 \[ \sup_{0\le t\le T}\Vert u_m'(t)\Vert^2_{L^2(U)}+\int_0^T\Vert u_m'(t)\Vert^2_{H_0^1(U)}dt\le C(\Vert f\Vert^2_{H^1(0,T;L^2(U))}+\Vert u_m(0)\Vert^2_{H^2(U)}) \] 最后一项仍需进行估计。
注意到\(\Delta\omega_k=-\lambda_k \omega_k=0,on~\partial U\)，则\(\Delta u_m=0,on~\partial U\) \[ \Vert u_m(0)\Vert^2_{H^2(U)}\le C\Vert \Delta u_m(0)\Vert^2_{L^2(U)}=C(u_m(0),\Delta^2u_m(0)) \] 由于\(\Delta^2u_m(0)\in \text{span}\{\omega_k\}_{k=1}^m\)且\((u_m(0),\omega_k)=(g,\omega_k)\)，则 \[ \Vert u_m(0)\Vert^2_{H^2(U)}\le C(g,\Delta^2u_m(0))=C(\Delta g,\Delta u_m(0)) \le \frac12\Vert u_m(0)\Vert^2_{H^2(U)}+C\Vert g\Vert^2_{H^2(U)} \] 则 \[ \Vert u_m(0)\Vert^2_{H^2(U)}\le C\Vert g\Vert^2_{H^2(U)} \] 故估计可进一步变为 \[ \sup_{0\le t\le T}\Vert u_m'(t)\Vert^2_{L^2(U)}+\int_0^T\Vert u_m'(t)\Vert^2_{H_0^1(U)}dt\le C(\Vert f\Vert^2_{H^1(0,T;L^2(U))}+\Vert g\Vert^2_{H^2(U)}) \]
仿照之前过程 \[ B[u_m,\omega_k]=(f-u_m',\omega_k) \] 则 \[ (Lu_m,-\Delta u_m)=B[u_m,-\Delta u_m]=(f-u_m',-\Delta u_m) \] 可以证明 \[ \beta \Vert u\Vert_{H^2(U)}^2\le (Lu,-\Delta u)+\gamma\Vert u\Vert_{L^2(U)}^2,\forall u\in H^2(U)\cap H_0^1(U) \] 于是结合以上两式可得 \[ \Vert u_m\Vert_{H^2(U)}\le C(\Vert f\Vert_{L^2(U)}+\Vert u_m'\Vert_{L^2(U)}+\Vert u_m\Vert_{L^2(U)}) \] 于是 \[ \begin{aligned} \sup_{0\le t\le T}&(\Vert u_m(t)\Vert_{H^2(U)}+\Vert u_m'(t)\Vert_{L^2(U)})+\Vert u_m'\Vert_{L^2(0,T;H_0^1(U))}\\ &\le C(\Vert f\Vert_{H^1(0,T;L^2(U))}+\Vert g\Vert_{H^2(U)}) \end{aligned} \] 还需证第三项 \[ \Vert u''\Vert_{L^2(0,T;H^{-1}(U))}\le C(\Vert f\Vert_{H^1(0,T;L^2(U))}+\Vert g\Vert_{H^2(U)}) \] 任取\(v\in H_0^1(U),\Vert v\Vert_{H_0^1(U)}\le 1\)，和之前相同找到v在子空间中的投影\(v=v^1+v^2\) \[ \langle u_m'',v\rangle=(u_m'',v)=(u_m'',v^1)=(f',v^1)-B[u_m',v^1] \] 由任意性得 \[ \Vert u_m''\Vert_{H^{-1}(U)}\le C(\Vert f'\Vert_{L^2(U)}+\Vert u_m'\Vert_{H_0^1(U)}) \] 求极限可得结论。
最大值原理
弱极值原理
\(Thm\)
假设\(u\in C_1^2(U_T)\cap C(\bar{U}_T),c\equiv 0,in~U_T\)，则
若 \[ u_t+Lu\le 0 ,in~ U_T \] 则 \[ \max_{\bar{U}_T}u=\max_{\Gamma_T}u \]
若 \[ u_t+Lu\ge 0 ,in~ U_T \] 则 \[ \min_{\bar{U}_T}u=\min_{\Gamma_T}u \]
\(Proof\)
不妨只证1不等号严格成立情形，可以用经典的\(u-\epsilon t\)技术补充证明。
假设\((x_0,t_0)\in U_T\)满足最大值，则若\(0<t_0<T\)，在该点 \[ u_t=0,u_i=0,u_{ii}\le 0 \]
\[ u_t+Lu=Lu\ge 0 \]
矛盾！
若\(t_0=T\)，则\(u_t\ge 0, at~(x_0,t_0)\)，同样矛盾！
上面的过程可以证明\(c\ge 0\)时，若\(u_t+Lu\le 0 ,in~ U_T\)，则\(\max_{\bar{U}_T}u=\max_{\Gamma_T}u^+\)。对称地\(c\le 0\)也有类似结论。
Harnack不等式
\(Thm\)
假设\(u\in C_1^2(U_T),u_t+Lu=0,in~U_T,u\ge 0,in~U_T\)则任意连通紧子集\(V\subset\subset U\)和\(0<t_1<t_2\le T\)有常数使得 \[ \sup_V u(\cdot,t1)\le C\inf_V u(\cdot,t_2) \] 其中\(C\sim V,t_1,t_2,L\)
\(Proof\)
其实也是常规思路（但这个构造是人能想出来的？），和椭圆中情形差不多，令\(v=\log u\)则 \[
v_t=a^{ij}v_{ij}+a^{ij}v_iv_j:=w+\tilde{w}
\] 构造\(\hat{w}=w+\kappa \tilde{w}\)，辅助函数\(\phi=\xi^4\hat{w}+\mu t\)，找\(\mu\)充分大常数使\(\phi\ge 0\)，进一步可证。
强极值原理
\(Thm\)
\(u\in C_1^2(U_T)\cap C(\bar{U}_T),c\equiv 0,in~U_T\)，U连通，则
若 \[ u_t+Lu\le 0 \] 且在\(U_T\)内\((x_0,t_0)\)取到最大值，则\(u|_{U_{t_0}}\)为常数
若 \[ u_t+Lu\ge 0 \] 且在\(U_T\)内\((x_0,t_0)\)取到最小值，则\(u|_{U_{t_0}}\)为常数
\(Proof\) 只证1
设点为\((x_0,t_0)\)，取\(W\subset\subset U,x_0\in W\)，v为下方程的解 \[ \begin{cases} v_t+Lv=0,&in~W_T\\ v=u,&on~\Delta_T \end{cases} \] 由弱极值原理有\(u\le v\le M=\max_{\bar{U}_T}u\)，于是显然有\(v=M,at~(x_0,t_0)\)
令\(\tilde{v}=M-v\)则\(\tilde{v}_t+L\tilde{v}=0,\tilde{v}\ge 0,in~W_T\)，则任意\(V\subset\subset W,x_0\in V,0<t<t_0\)有 \[ \max_V \tilde{v}(\cdot,t)\le C\inf_V \tilde{v}(\cdot,t_0)\le 0 \] 于是\(\tilde{v}\equiv 0,in~W_{t_0}\)，则\(v\equiv M,in~W_{t_0}\)，进一步\(u\equiv M,on~U_{t_0}\)。
\(Thm\) \(c\ge 0\)对非负最大值，非正最小值有类似结论。
一些关于最大值原理的简单推论
去掉c的符号限制
假设\(u\in C_1^2(U_T)\cap C(\bar{U}_T)\)，c有界，U有界，\(Lu\le 0\)，则 \[ \sup_{\Gamma_T}u\le 0\to \sup_{U_T}u\le 0 \] （取\(v=e^{c_0t}u,c_0\le \inf_{U_T}c\)即可）
比较原理
\(u,v\in C_1^2(U_T)\cap C(\bar{U}_T)\)，c有界 \[ \begin{cases} Lu\le Lv,&in~U_T\\ u\le v,&on~\Gamma_T \end{cases} \] 则\(u\le v,in~U_T\)。
由上面结论显然。
可推出最多一个光滑解。
最大模估计
\(u\in C_1^2(U_T)\cap C(\bar{U}_T),Lu=f\)，c非负有界，则 \[ \begin{aligned} \sup_{U_T}|u|&\le \sup_{\Gamma_T}|u|+T\sup_{U_T}|f|\\ \sup_{U_T}|u|&\le \sup_{\Gamma_T}|u|+M\sup_{U_T}|f|,M\sim U \end{aligned} \]
\(w=-\sup_{\Gamma_T}|u|-t\sup_{U_T}|f|,v=\sup_{\Gamma_T}|u|+t\sup_{U_T}|f|\)，可通过比较原理推出\(w\le u\le v\)
\(v=\sup_{\Gamma_T}|u|+h(x)\sup_{U_T}|f|\)，待定\(h\)满足 \[ \begin{cases} h\ge 0, on~\Gamma_T\\ Lh\ge 1,in~U_T \end{cases} \] 取\(h=e^d-e^{x_1-x_1^0},x_1^0=\inf\{x_1|x\in U\},d\)为区域直径，满足条件，然后同1即得结论
c有界最大模估计
上面条件中删去c非负，则： \[ \begin{aligned} \sup_{U_T}|u|&\le e^{-c_0T}(\sup_{\Gamma_T}|u|+T\sup_{U_T}|f|)\\ \sup_{U_T}|u|&\le e^{-c_0T}(\sup_{\Gamma_T}|u|+M\sup_{U_T}|f|),M\sim U \end{aligned} \]
\[ c_0=\min\{\inf_{U_T} c(x),0\} \]
取\(v=e^{c_0t}u\)即可
可推出光滑解稳定性。
二阶双曲方程
问题 \[ \begin{cases} u_{tt}+Lu=f,&in~U_T\\ u=0,&on~\partial U\times[0,T]\\ u=g,u_t=h&on~U\times\{t=0\} \end{cases} \] 弱解 \[ \langle u'',v\rangle+B[u,v;t]=(f,v),u(0)=g,u'(0)=h \] 能量估计、弱解存在唯一性、正则性提升都与抛物方程的处理方式完全类似，就不加赘述了。唯一要提的就是有限传播性。
有限传播速度
考虑 \[ Lu=-\sum a^{ij}u_{ij} \] 方程 \[ u_{tt}+Lu=0 \] 希望一个初始位置和初始速度的条件就可以唯一确定波的传播。
令q为方程 \[ \begin{cases} \sum a^{ij}q_iq_j=1,q>0,in~R^n-\{x_0\}\\ q(x_0)=0 \end{cases} \] 的解，波在时空域上传播的“锥形”是 \[ K:=\{(x,t)|q(x)<t_0-t\} \] 定义 \[ K_t:=\{(x,t)|q(x)<t_0-t\} \] 为t时刻的截面。
\(Thm\)
若u是上述方程的光滑解，则若 \[ u\equiv u_t\equiv 0,on~K_0 \] 则 \[ u\equiv 0, in~K \] (故解仅依赖于\(K_0\)初值)
\(Proof\)
考虑能量 \[ e(t)=\frac12\int_{K_t}u_t^2+a^{ij}u_iu_jdx \] 根据余面积公式 \[ \frac{d}{dt}\left(\int_{K_t}fdx\right)=-\int_{\partial K_t}\frac{f}{|Dq|}dS \] 于是 \[ \frac{d}{dt}e(t)=\int_{K_t}u_tu_{tt}+a^{ij}u_iu_{jt}dx-\frac12\int_{\partial K_t}(u_t^2+a^{ij}u_iu_j)/|Dq|dx:=A-B \] 分部积分计算 \[ \begin{aligned} A&=\int_{K_t}u_t(u_{tt}-(a^{ij}u_i)_j)dx+\int_{\partial K_t}a^{ij}u_i\nu^ju_tdS\\ &=-\int_{K_t}u_ta^{ij}_ju_idx+\int_{\partial K_t}a^{ij}u_i\nu^ju_tdS \end{aligned} \] 而在边界上由表达式有\(\nu=\frac{Dq}{|Dq|}\)，于是 \[ a^{ij}\nu^i\nu^j=\frac{a^{ij}q_iq_j}{|Dq|^2}=\frac{1}{|Dq|^2} \] 则 \[ |a^{ij}u_i\nu^j|\le (a^{ij}u_iu_j)^{\frac12}(a^{ij}\nu^i\nu^j)^{\frac12}=\frac{(a^{ij}u_iu_j)^{\frac12}}{|Dq|} \] 于是 \[ \begin{aligned} |A|&\le Ce(t)+\int_{\partial K_t}(a^{ij}u_iu_j)^{\frac12}|u_t|\frac{1}{|Dq|}dS\\ &\le Ce(t)+\frac12\int_{\partial K_t}(u_t^2+a^{ij}u_iu_j)\frac{1}{|Dq|}dS\\ &=Ce(t)+B \end{aligned} \] 则 \[ \frac{d}{dt}e(t)\le Ce(t) \] 又\(e(0)=0\)则\(e(t)\equiv 0\)，从而\(u\equiv 0\)。