傅里叶级数
傅里叶级数
假定\(f\)是以\(2\pi\)为周期的函数，如果三角级数 \[ a_0+\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx) \] 的系数由下式给出 \[ \begin{aligned} a_0&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\\ a_k&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx\\ b_k&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx\\ \end{aligned} \] 则称该三角级数为\(f\)的Fourier级数。
事实上，容易验证\(\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}},\frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}},n=1,2,\cdots\}\)是\(L^2([-\pi,\pi])\)中的标准正交基，上式不严格地说是这一观察的显然推论。
类似地，函数系 \[ \{\frac{e^{int}}{\sqrt{2\pi}},n=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\} \] 在\(L^2([-\pi,\pi])\)中标准正交，故 \[ \begin{aligned} f(t)=&\sum_{-\infty}^{\infty}\alpha_ne^{int}\\ \alpha_n=\frac{1}{2\pi}&\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}dt \end{aligned} \] 为\(f\)的复型Fourier级数
傅里叶级数的收敛性
Riemann-Lebesgue引理
假设\(f\)是区间\([a,b]\)上的分段连续函数，则有 \[ \lim_{k\rightarrow\infty}\int_a^bf(x)\cos(kx)dx=\lim_{k\rightarrow\infty}\int_a^bf(x)\sin(kx)dx=0 \] (证明思路：和实分析中很多过程十分相似，阶梯函数->有界可积函数->绝对可积函数)
下面令 \[ S_N(x)=a_0+\sum_{k=1}^{N}a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx) \] 收敛性均是讨论\(S_N(x)\rightarrow f(x)\)。
\(Thm1\) 假设\(f\)是以\(2\pi\)为周期的连续函数，如果\(f\)在\(x\)点可导，则f的Fourier级数在\(x\)点处收敛到\(f\)。事实上对于连续函数，其Fourier级数是几乎处处收敛到其自身的。
\(proof\)
引入Dirichlet核 \[ \begin{aligned} P_N(u)&=\frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^N\cos(ku)\right)\\ &=\begin{cases} \frac{1}{2\pi}\frac{\sin((N+1/2)u)}{\sin(u/2)},&u\ne 2j\pi\\ \frac{1}{2\pi}(2N+1),&u=2j\pi \end{cases} \end{aligned} \] 则 \[ \begin{aligned} S_N(x)&=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)P_N(t-x)dt\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}f(u+x)P_N(u)du \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} S_N(x)-f(x)&=\int_{-\pi}^\pi(f(u+x)-f(x))P_N(u)du\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\left(\frac{f(u+x)-f(x)}{\sin(u/2)}\right)\sin((N+1/2)u)du \end{aligned} \]
由\(f\)在\(x\)处可导性与Riemann-Lebesgue引理，有\(S_N(x)\rightarrow f(x)\)。
\(Thm2\) 假设\(f(x)\)是以\(2\pi\)为周期的分段连续函数，如果\(f\)在\(x\)处左右可导则\(f\)的Fourier级数在\(x\)点收敛到\(\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\)。
\(proof\)
由前面讨论知 \[ S_N(x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(u+x)P_N(u)du \]
\[ \begin{aligned} &S_N(x)-\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\\ =&\int_{-\pi}^{0}(f(u+x)-f(x+0))P_N(u)dt+\int_{0}^{\pi}(f(u+x)-f(x-0))P_N(u)du \end{aligned} \] 由\(f\)左右可导，两项分别类似讨论即可。
\(Thm3\) 假设\(f\)是以\(2\pi\)为周期的分段光滑函数，则其Fourier级数在\([-\pi,\pi]\)上一致收敛于\(f\)。
\(Thm4\) 若\(f\in L^2([-\pi,\pi])\)，则\(\Vert f-S_N\Vert_{L^2}\rightarrow0\) （依范数收敛）（事实上，\(S_N\)是\(f\)到\(V_N\)的正交投影）
Parseval等式
设\(f,g\in L^2([-\pi,\pi]),~\alpha_k,\beta_k\)为其复型Fourier系数，则有 \[ \frac{1}{2\pi}\langle f,g\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\overline{g(t)}dt=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\alpha_k\overline{\beta_k} \] \(proof\) 易得\(\langle f_N,g_N\rangle\rightarrow\langle f,g\rangle\)