傅里叶变换
\(L^1\)上的傅里叶变换
定义
在傅里叶级数中，我们有 \[ f_T(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\alpha_k e^{i\frac{k\pi x}{T}} \] 其中 \[ \alpha_k=\frac{1}{2T}\int_{-T}^Tf(t)e^{-i\frac{k\pi t}{T}}dt \] 这实际上就是使用了一个可数的序列\({\alpha_k}\)来表征了一个周期为\(2T\)的函数的全部特征。对于一个一般的非周期的函数，一个自然的想法就是令\(T\rightarrow\infty\)，这就可以推导出傅里叶变换的形式。 \[ \begin{aligned} f(x)&=\lim_{T\rightarrow\infty}[\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T\left(f(t)e^{-i\frac{k\pi t}{T}}dt\right) e^{i\frac{k\pi x}{T}}]\\ &=\lim_{T\rightarrow\infty}[\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^Tf(t)e^{i\frac{k\pi (x-t)}{T}}dt]\\ &=\lim_{T\rightarrow\infty}[\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-T}^Tf(t)e^{i\frac{k\pi (x-t)}{T}}dt]\Delta\lambda\\ \end{aligned} \] 其中\(\lambda_k=\frac{k\pi}{T},\Delta\lambda=\lambda_{k+1}-\lambda_k=\frac{\pi}{T}\)
记 \[ F_T(\lambda_k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-T}^Tf(t)e^{i\frac{k\pi (x-t)}{T}}dt \] 则 \[ \begin{aligned} f(x)&=\lim_{T\rightarrow\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty}F_T(\lambda_k)\Delta\lambda\\ &=\lim_{T\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F_T(\lambda)d\lambda \end{aligned} \] 故 \[ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i\lambda(x-t)}dtd\lambda \tag{1} \] 记 \[ \hat{f}(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\lambda t}dt \tag{2} \] 称为\(f\)的傅里叶变换，也可用记号\(\mathfrak{F}[f](\lambda)=\hat{f}(\lambda)\)。
简单例子列举
代入公式简单计算有
| \(f(x)\) | \(\hat{f}(\lambda)\) |
|---|---|
| \(I_{[-\pi,\pi]}(x)\) | \(\frac{\sqrt{2}\sin\lambda\pi}{\sqrt{\pi}\lambda}\) |
| \(\cos{2x}\cdot I_{[-\pi,\pi]}(x)\) | \(\frac{\sqrt{2}\sin\lambda\pi}{\sqrt{\pi}(4-\lambda^2)}\) |
| \(\sin{2x}\cdot I_{[-\pi,\pi]}(x)\) | \(\frac{-2\sqrt{2}i\sin\lambda\pi}{\sqrt{\pi}(4-\lambda^2)}\) |
| \((x+\pi)I_{[-\pi,0]}+(\pi-x)I_{[0,\pi]}\) | \(\frac{2}{\sqrt{2\pi}} \frac{1-\cos(\lambda \pi)}{\lambda^2}\) |
| \(e^{-ax^2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2a}}e^{-\frac{\lambda^2}{4a}}\) |
事实上可以观察到\(f\)的光滑性越好似乎其傅里叶变换就更容易趋于零。
逆变换
由推导过程中\((1)\)有 \[ f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\lambda)e^{i\lambda t}d\lambda \tag{3} \] 即为傅里叶变换逆变换。
严格来说有定理若\(f(t)\in L^1(\mathbb{R}),\hat{f}(\lambda)\in L^1(\mathbb{R})\)则有上述\((3)\)式成立。（证明略去）
性质
假设\(f\in L^1(\mathbb{R})\)，则其Fourier变换满足
\((1) \lim_{|\lambda|\rightarrow\infty}\mathfrak{F}[f](\lambda)=0\)（Riemann-Lebesgue引理）
\((2)\mathfrak{F}[f](\lambda)\)在\(\mathbb{R}\)上连续
\((3)|\mathfrak{F}[f](\lambda)|\le\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Vert f\Vert_1\)，进一步\(\mathfrak{F}\)是\(L^1(\mathbb{R})\)到\(L^\infty(\mathbb{R})\)上的有界线性算子
卷积
\[ (f*g)(x):=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-t)g(t)dt=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(x-t)dt \]
将卷积函数\(g\)看成一种作用，实质上就是以某种加权方式将\(f\)某点周围的信息组合起来。当想要局部编辑一个函数\(f\)时，就可以考虑使用一个局部的函数\(g\)通过卷积作用在\(f\)上，实质上许多去噪之类的操作都可以通过这种方式实现。而傅里叶变换很重要的一个特性就是它可以使卷积的操作变得简单。
\((4)\mathfrak{F}[f*g](\lambda)=\sqrt{2\pi}\hat{f}(\lambda)\hat{g}(\lambda)\)
由这个特性可以将时域上的卷积操作变成频域上的乘积操作。要算卷积可以先做傅里叶变换，乘积之后再做逆傅里叶变换，结合快速傅里叶变换算法可以大大提高效率。
以下列出更多性质，性质的验证都是容易的。
| 函数\(f(t)\) | 变换\(\hat{f}(\lambda)\) |
|---|---|
| \(\hat{f}(t)\) | \(f(-\lambda)\) |
| \(f_1*f_2(t)\) | \(\sqrt{2\pi}\hat{f_1}(\lambda)\hat{f_2}(\lambda)\) |
| \(f_1f_2(t)\) | \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\hat{f_1}*\hat{f_2}(\lambda)\) |
| \(f(x-a)\) | \(e^{-ia\lambda}\hat{f}(\lambda)\) |
| \(e^{i\lambda_0t}f(t)\) | \(\hat{f}(\lambda-\lambda_0)\) |
| \(f(bt)\) | \(\frac{1}{|b|}\mathfrak{F}[f](\frac{\lambda}{b})\) |
| \(f^{(k)}(t)\) | \((i\lambda)^k\hat{f}(\lambda)\) |
| \((-it)^kf(t)\) | \(\hat{f}^{(k)}(\lambda)\) |
\(L^2\)上的傅里叶变换
由于连续函数空间在\(L^1(\mathbb{R})\)和\(L^2(\mathbb{R})\)中都稠密，故对于任意\(L^2(\mathbb{R})\)中的函数\(f\)，存在收敛到\(f\)的函数类 \[ \Vert f_n-f\Vert_{L^2}\rightarrow0,f_n\in L^1(\mathbb{R})\bigcap L^2(\mathbb{R}) \] \(f_n\)有傅里叶变换又由Plancherel等式 \[ \Vert\hat{f_n}(\lambda)-\hat{f_m}(\lambda)\Vert=\Vert f_n-f_m\Vert\rightarrow0 \] 以及Hilbert空间的完备性，有\(\hat{f}\in L^2(\mathbb{R})\)为其极限，定义为\(f\)的傅里叶变换。依然可以验证之间的性质，这是我们主要运用到的函数空间。
实用性
线性时不变算子
称 \[ L:X\rightarrow Y \] 是线性时不变的是指 \[ \begin{aligned} (1)&~L[\alpha f+\beta g]=\alpha L[f]+\beta L[g]\\ (2)&~L[f(t-a)]=L[f](t-a) \end{aligned} \]
事实上在现实操作中这两者对于信号处理是非常平凡的性质。前者即是信号处理的可叠加性，后者则保证了不同时间处理信号会得到相同的结果。后面我们可以看到，这样平凡的算子总是可以用一个卷积算子来表征，这就体现了卷积在实际操作中的实用性。
\(Thm\) 设\(L\)是分片连续函数信号空间的线性时不变算子，则存在可积函数\(h\)使得对任意的信号\(f\)有 \[ L[f]=f*h \] \(proof\)
Step1: 找\(h\)满足 \[ L[e^{i\lambda x}](t)=\sqrt{2\pi}\hat{h}(\lambda)e^{i\lambda t} \] 定义\(h^\lambda(t)=L[e^{i\lambda x}](t)\)
由时不变性有 \[ L[e^{i\lambda (x-a)}](t)=h^\lambda(t-a) \] 又由线性性 \[ L[e^{i\lambda (x-a)}](t)=e^{-i\lambda a}h^\lambda(t) \] 对任意实数\(a\)成立
从而 \[ L[e^{i\lambda x}](t)=h^\lambda(t)=h^\lambda(0)e^{i\lambda t} \] 令\(\hat{h}(\lambda)=h^\lambda(0)/\sqrt{2\pi}\) 即得
Step2: 函数\(\hat{h}(\lambda)\)确定算子\(L\)
将\(L\)作用于Fourier逆变换公式 \[ \begin{aligned} L[f](t)&=L[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}\hat{f}(\lambda)e^{i\lambda x}d\lambda](t)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}\hat{f}(\lambda)L[e^{i\lambda x}](t)d\lambda\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}\hat{f}(\lambda)(\sqrt{2\pi}\hat{h}(\lambda)e^{i\lambda t})(t)d\lambda\\ &=(f*g)(t) \end{aligned} \] 得证
采样定理
傅里叶变换从某种程度上来说就是更加“密集”的傅里叶级数。在实际应用中，采样点总是有限的，我们希望可以用至多可数点的信息包含整段信号的信息。
\(Thm\) (Shannon-Whittaker采样定理)
假设\(\hat{f}(\lambda)\)分段光滑且频率带限，即存在常数\(\Omega>0\)，使得\(supp \hat{f}\subset [-\Omega,\Omega]\)。则\(f\)可由其在\(t_j=\frac{j\pi}{\Omega},j=0,\pm1\pm2\cdots\)上的采样值完全决定，并可通过下列级数展开得到 \[ f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}f(j\pi/\Omega)\frac{\sin(\Omega t-j\pi)}{\Omega t-j\pi} \] 思路：在\([-\Omega,\Omega]\)上找\(\hat{f}\)的Fourier级数，比较与Fourier变换的形式，再做逆Fourier变换即可。