小波函数简介

前言

指出了傅里叶变换和窗口傅里叶变换的问题，我们还是希望找到一种方式能解决上述问题，由此便引出了小波的概念。傅里叶变换之所以失败的原因是因为其基函数\(\{e^{i\omega t}\}\)铺满了整个时域，而使用小波函数最基本的想法就是采用另外的一组基函数\(\{\psi(\frac{t-\tau}{a})\}\)，其本身就具有可伸缩平移及局部的特性。小波变换也有和窗口傅里叶变换类似的时间-频率特性，根据小波变换的伸缩平移性，只要不同时检测高频与低频信息，例如先找到最高频信息将其抽离，再找次高频信息，以此类推，即可得到不同频率下的小波系数；恢复信号时也只需反向操作即可。这里的首要的重点是选好小波函数。

定义

基小波

如果一个函数\(\psi\in L^2(\mathbb{R})\)满足容许性条件 \[ C_\psi=2\pi \int_{\mathbb{R}}\frac{|\hat{\psi}(\lambda)|^2}{|\lambda|}d\lambda<\infty \] 则称\(\psi\)为基小波。

注：容易从定义中看出若\(\hat{\psi}\)连续则\(\hat{\psi}(0)=0\)必然成立，即\(\int\psi=0\)，而一般\(L^2\)函数都具有衰减性，故一般基小波有波动性且在有限区间外等于零或很快趋于零。

Haar小波

这是最简单的小波例子，以后也经常用它直观体现一些性质。 \[ \psi (t)= \begin{cases} 1,&0\le t<1/2\\ -1,&1/2\le t<1\\ 0,&else \end{cases} \] 不难验证它满足基小波性质。

连续小波变换

假设\(\psi\)是一个基小波，基小波的伸缩和平移得到的小波序列 \[ \psi_{a,b}(t)=|a|^{-\frac{1}{2}}\psi(\frac{t-b}{a}) \] 小波变换定义为 \[ (W_{\psi}f)(a,b)=\langle f,\psi_{a,b}\rangle=|a|^{-\frac{1}{2}}\int_{\mathbb{R}}f(t)\overline{\psi(\frac{t-b}{a})}dt \] 其伸缩平移等性质与Fourier变换类似容易验证

能量守恒

假设\(f,g\in L^2(\mathbb{R})\)，\(\psi\)是一基小波，则 \[ \frac{1}{C_\psi}\iint(W_\psi(f))(a,b)\overline{(W_\psi(g))(a,b)}\frac{1}{a^2}dadb=\langle f,g\rangle \] 特别地 \[ \frac{1}{C_\psi}\iint|(W_\psi(f))(a,b)|^2\frac{1}{a^2}dadb=\Vert f\Vert^2 \]

反演定理

条件相同 \[ f(t)=\frac{1}{C_\psi}\iint|a|^{-1/2}\psi(\frac{t-b}{a})(W_\psi(f))(a,b)\frac{1}{a^2}dadb \]

二进小波变换

连续小波变换的时频窗为 \[ [b+at^*-a\Delta_\psi,b+at^*+a\Delta_\psi]*[\frac{\lambda^*}{a}-\frac{\Delta_{\hat{\psi}}}{a},\frac{\lambda^*}{a}+\frac{\Delta_{\hat{\psi}}}{a}] \] 在频率窗中取\(a_j=\frac{1}{2^j}\)，并且假设\(\lambda^*=3\Delta_{\hat{\psi}}\)，则频率窗变成 \[ [2^{j+1}\Delta_{\hat{\psi}},2^{j+2}\Delta_{\hat{\psi}}] \] 于是小波变换\((W_\psi f)(\frac{1}{2^j},b)\)给出了信号在上述频率带中的局部信息，这些频率带给出了所有正频率域的一个二进剖分。因此，经过离散后，小波变换\((W_\psi f)(\frac{1}{2^j},b)\)可以得到信号在所有频率域上的信息。

注： \[ \lambda^*=3\Delta_{\hat{\psi}} \] 是很容易满足的。事实上假设\(\psi\)是一个基小波，令\(\tilde{\psi}=e^{i\alpha t}\psi(t)\)，则\(\hat{\tilde{\psi}}(\lambda)=\hat{\psi}(\lambda-\alpha)\)。于是\(\hat{\tilde{\psi}}\)的中心和半径分别为 \[ \tilde{\lambda^*}=\lambda^*+\alpha,\Delta_{\hat{\tilde{\psi}}}=\Delta_{\hat{\psi}} \] 从而，只要选择 \[ \alpha=3\Delta_{\hat{\psi}}-\lambda^* \] 即可。

定义

一个函数\(\psi\in L^2(\mathbb{R})\)称为二进小波，如果存在两个正常数\(A\)和\(B\)满足\(0<A\le B<\infty\)，使得稳定性条件 \[ A\le \sum_{j=-\infty}^{+\infty}|\hat{\psi}(2^{-j}\lambda)|^2\le B \] 成立。对于\(f\in L^2(\mathbb{R})\)，其二进小波变换定义为 \[ (W_\psi^jf)(b)=2^{\frac{j}{2}}(W_\psi f)(2^{-j},b) \] 其中稳定性条件中有定理 \[ A\ln (2)\le\int_0^\infty \frac{|\hat{\psi}(\lambda)|^2}{\lambda} d\lambda \le B\ln(2) \] （分段放缩即可）

二进对偶

假设\(\psi\)是一个二进小波，称 \[ \hat{\psi^*}(\lambda)=\frac{\hat{\psi}(\lambda)}{\sum_{k=-\infty}^{\infty}|\hat{\psi}(2^{-k}\lambda)|^2} \] 的逆傅里叶变换\(\psi^*\in L^2(\mathbb{R})\)为\(\psi\)的二进对偶。

小波框架和正交小波

为了计算的有效性，将时间离散化 \[ b_{j,k}=\frac{k}{2^j}b_0 \] 引入 \[ \psi_{b_0;j,k}=2^{\frac{j}{2}}\psi(2^jt-kb_0) \] 我们希望考虑的问题是利用连续小波变换的离散形式来重构\(f\)。

框架理论

假设\(\phi_j\)是Hilbert空间\(H\)中的序列，如果存在常数\(A,B\)满足\(0<A\le B<\infty\)，使得对任意的\(f\in H\)有 \[ A\Vert f\Vert^2\le \sum_{j=-\infty}^{\infty}|\langle f,\phi_j\rangle|^2\le B\Vert f\Vert^2 \] 则称\(\{\phi_j\}\)是\(H\)中的一个框架。\(A,B\)称为框架的上下界。如果\(A=B\)，则称\(\{\phi_j\}\)是\(H\)中的紧框架。

（注意框架与基的关联与不同）

一些关于框架的算子

设序列\(\{\phi_j\}\)是Hilbert空间\(H\)的一个框架，称线性算子 \[ F:H\to l^2,F(f)=\{\langle f,\phi_j\rangle\},\forall f\in H \] 为框架的分析算子。称\(F\)的伴随算子 \[ F^*:l^2\to H,F^*(c)=\sum c_j\phi_j,\forall c=\{c_j\}\in l^2 \] 为框架的综合算子。令\(T=F^*F\)，则 \[ T:H\to H,T(f)=\sum\langle f,\phi_j\rangle\phi_j,\forall f\in H \] 为框架的框架算子。

易知， \[ \langle T(f),f\rangle=\sum|\langle f,\phi_j\rangle|^2=\Vert F(f)\Vert^2 \]

对偶框架

记号定义如上，令\(\tilde{\phi_j}=T^{-1}\phi_j\)，则\(\{\tilde{\phi_j}\}\)是一个以\(B^{-1},A^{-1}\)为界的框架，称为原框架的对偶框架。

注意到\(T^*=T\)有 \[ \langle f,\tilde{\phi_j}\rangle=\langle f,T^{-1}\phi_j\rangle=\langle T^{-1}f,\phi_j\rangle \] 从而 \[ \begin{aligned} \sum|\langle f,\tilde{\phi_j}\rangle|^2&=\sum|\langle T^{-1}f,\phi_j\rangle|^2\\ &=\Vert F(T^{-1}f)\Vert^2\\ &=\langle T^{-1}f,f\rangle \end{aligned} \] 于是上面的结论是自然的。

性质

\[ f=\sum\langle f,\phi_j\rangle\tilde{\phi_j} \]

\[ f=\sum\langle f,\tilde{\phi_j}\rangle\phi_j \]

这种展开方式的“最优性”

1. 如果

\[ f=\sum c_j\phi_j,\{c_j\}\ne\{\langle f,\tilde{\phi_j}\rangle\} \]

则 \[ \sum|c_j|^2>\sum|\langle f,\tilde{\phi_j}\rangle|^2 \]

2. 如果

\[ f=\sum\langle f,\phi_j\rangle u_j，\{u_j\}\ne\{\tilde{\phi_j}\} \]

则 \[ \sum|\langle f,u_j\rangle|^2\ge\sum|\langle f,\tilde{\phi_j}\rangle|^2 \]

正交小波

对于函数\(\psi\in L^2(\mathbb{R})\)，如果序列 \[ \psi_{b_0;j,k}=2^{j/2}\psi(2^j t-kb_0) \] 构成\(L^2\)一个框架，则称其生成一个具有抽样速率\(b_0\)的小波框架。

对于函数\(\psi\in L^2(\mathbb{R})\)，如果 \[ \psi_{j,k}(t)=2^{j/2}\psi(2^jt-k) \] 构成\(L^2\)的标准正交基，则\(\psi\)称为正交小波。如何寻找正交小波成为接下来的主要课题。